https://blog.kmoon.fun/blog/algorithms/ Recent content in Algorithms on Kmoon Blog Hugo zh-CN hushan@kmoon.fun (Kmoon) hushan@kmoon.fun (Kmoon) Copyright © 2020-2026. Kmoon. Sun, 10 Nov 2024 21:47:16 +0800 00000000000000000 00000000000000000 https://blog.kmoon.fun/%E7%AE%97%E6%B3%95%E5%90%88%E9%9B%86%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92/ Sun, 10 Nov 2024 21:47:16 +0800hushan@kmoon.fun (Kmoon) https://blog.kmoon.fun/%E7%AE%97%E6%B3%95%E5%90%88%E9%9B%86%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92/ <h1 id="动态规划">动态规划</h1> <p>首先确定有哪些状态，初始化 dp 数组，初始化 dp 数组的时候需要考虑纬度、状态。</p> <p>当前状态来源于前面的状态，写状态转移方程的时候，思考 <strong>= 号左边的状态在右边有哪些来源（依赖前面哪些状态）</strong>。</p> <h2 id="线性-dp">线性 DP</h2> <p>最基础的一维 DP，dp [i] 只依赖前面 dp [i-1] / dp [i-2]</p> <p>状态：dp[i] = 前 i 位置最优解</p> <p>经典题：</p> <ol> <li>打家劫舍 Ⅰ、Ⅱ</li> </ol> <blockquote> <p>偷当前房子依赖于偷没偷左边的房子，如果偷了左边的就不能偷当前的,保持原来的状态：dp[i-1]，如果没偷左边的当前房子就可以偷：dp[i-2] + nums[i]，两者取最大值即可。</p> <p>打家劫舍 Ⅱ 数据结构变成了环形数组，首尾相互挨着，只能选择偷一个，所以我们分别去掉首尾计算一次，取最大值即可。</p> </blockquote> <ol start="2"> <li>爬楼梯、最小花费爬楼梯</li> </ol> <blockquote> <ul> <li>爬楼梯这里考虑爬上当前台阶来源于两种方法：1️⃣ 从前两个台阶爬上来 2️⃣ 从前一个台阶爬上来，所以很容易推出状态转移方程：<code>dp[i] = dp[i-2] + dp[i-1]</code>，这里可以看出爬楼梯本质上就是斐波那契数列</li> <li>最小花费爬楼梯加了一个新条件，目标从“计数”变成“求最值”:<code>dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])</code>，需要考虑成本取最小值。</li> </ul> </blockquote> <ol start="3"> <li>斐波那契数、杨辉三角</li> </ol> <blockquote> <ul> <li>斐波那契数题目已经给出了状态转移方程：dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]</li> <li>杨辉三角同样也是给出了状态转移过程：每个数来源于左上方 + 右上方的值，即上一行的两个值，需要一行一行算出当前行的值。</li> </ul> </blockquote> <ol start="4"> <li>比特位计数</li> </ol> <blockquote> <p>需要统计二进制表示中 1 的个数，这里我们知道二进制是逐个进位的，后面的数来源于前面的数(i 的状态依赖于 i 整除 2 的状态)。比如 3（11）的二进制中 1 的个数 = 1（01）的二进制中 1 的个数 + 3（11）原本末尾一位 1 的个数。</p> <p>总结来看就是：dp[i] = dp[i // 2] + (i &amp; 1)，这里整除 2 其实也就是右移一位（dp[i] &raquo; 1），(i &amp; 1) 就是看 i 末尾是不是 “1”。</p> </blockquote> <h2 id="区间-dp">区间 DP</h2> <p>左右区间 i ~ j</p> <p>dp [i][j]：区间 [i,j] 的答案，从小区间推大区间</p> <p>枚举区间长度 → 枚举起点 i，终点 j=i+len-1</p> <p>经典题：</p> <ol> <li>最大子数组和</li> </ol> <blockquote> <p>从小区间推大区间，数组里面有负数，要么拼到后面，要么重新开始，两者取最大值：dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i])，返回的时候取最大：return max(dp)</p> </blockquote> <ol start="2"> <li>最长递增子序列</li> </ol> <blockquote> <p>外层枚举每一个位置 i（作为子序列的结尾），内层枚举 i 前面所有位置 j（尝试将 i 接在 j 后面），能递增：nums[j] &lt; nums[i]，说明可以把 nums[i] 接在以 j 结尾的序列后面</p> </blockquote> <ol start="3"> <li>乘积最大子数组</li> </ol> <blockquote> <p>这道题同样存在负数，计算乘法可能会对结果产生反转。需要维护两个dp数组，一个乘积最大值，一个乘积最小值。乘积最大值的3个来源：拼在后面、重新开始、最小值拼，乘积最小值的3个来源：拼在后面、重新开始、最大值拼，最后结果肯定是返回乘积最大值数组的最大值</p> </blockquote> <ol start="4"> <li>回文子串、最长回文子串</li> </ol> <blockquote> <p>因为要判断回文子串，需要先枚举子串长度，再枚举当前长度下所有可能的起始位置，状态转移就是只要首尾两个字符相等就可以更新，因为题目求总数，所以需要统计一下</p> <p>最长回文子串求的是最长子串，只需要维护一个最长长度即可</p> </blockquote> <h2 id="坐标网格棋盘-dp">坐标/网格/棋盘 DP</h2> <p>从左上走到右下，只能右 / 下；dp [i][j] 由上边 / 左边转移</p> <p>经典题：</p> <ol> <li>不同路径 Ⅰ、Ⅱ</li> </ol> <blockquote> </blockquote> <ol start="2"> <li>最小路径和</li> </ol> <blockquote> </blockquote> <ol start="3"> <li>最大正方形</li> </ol> <blockquote> </blockquote> <p>模板：dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1] / min(&hellip;)</p> <h2 id="二维-dp--双串-dp">二维 DP / 双串 DP</h2> <h3 id="二维-dp">二维 DP</h3> <p>二维 DP 是指存在另一个纬度的状态，比如买卖股票场景下就存在持股、不持股两种状态。</p> <ol> <li>买卖股票的最佳时机、买卖股票的最佳时机含冷冻期</li> </ol> <h3 id="双串">双串</h3> <p>双串 DP 是指需要在两个数据结构上（数组、字符串）考虑。</p> <ol> <li> <p>最长公共子序列</p> </li> <li> <p>编辑距离</p> </li> </ol> <h2 id="树形-dp">树形 DP</h2> <p>DFS + DP</p> <ol> <li>打家劫舍 Ⅲ</li> </ol> <blockquote> </blockquote> <ol start="2"> <li>不同的二叉搜索树</li> </ol> <blockquote> </blockquote> <h2 id="背包问题">背包问题</h2> <p>背包问题需要理清 3 个核心顺序：</p> <h3 id="1-先物品-还是-先容量">1. 先物品 还是 先容量</h3> <p>只需要分析题目是“<strong>组合</strong>”还是“<strong>排列</strong>”场景即可</p> <ul> <li><strong>组合：先物品后容量</strong></li> </ul> <p>因为组合问题不考虑顺序，1+2 和 2+1 算同一种。</p> <p>先物品 = 控制物品只能按固定顺序出现，不会回头选，不产生新顺序 → 组合</p> <p>外层物品 = 单向遍历，不回头，物品只能按顺序出现，后面的物品不能再和前面的组合 → 无顺序 = 组合</p> <p>例如：零钱兑换、零钱兑换 II、完全平方数、分割等和子集、目标和</p> <div class="highlight"><pre tabindex="0" class="chroma"><code class="language-python" data-lang="python"><span class="line"><span class="cl"><span class="k">for</span> <span class="n">物品</span> <span class="ow">in</span> <span class="n">物品</span><span class="p">:</span> </span></span><span class="line"><span class="cl"> <span class="k">for</span> <span class="n">容量</span> <span class="ow">in</span> <span class="nb">range</span><span class="p">(</span><span class="n">物品</span><span class="p">,</span> <span class="n">总容量</span><span class="o">+</span><span class="mi">1</span><span class="p">):</span> </span></span></code></pre></div><ul> <li><strong>排列：先容量，后物品</strong></li> </ul> <p>因为排列问题中顺序不同，算不同的答案。1+2 和 2+1 算两种</p> <p>先容量 = 每个位置都能选所有物品，会回头选，产生新顺序 → 排列</p> <p>外层容量 = 每个位置都能选全部物品，每个容量位置，都可以重新选所有物品 → 有顺序 = 排列</p> <p>例如：单词拆分、组合总和 IV</p> <div class="highlight"><pre tabindex="0" class="chroma"><code class="language-python" data-lang="python"><span class="line"><span class="cl"><span class="k">for</span> <span class="n">容量</span> <span class="ow">in</span> <span class="nb">range</span><span class="p">(</span><span class="n">总容量</span><span class="o">+</span><span class="mi">1</span><span class="p">):</span> </span></span><span class="line"><span class="cl"> <span class="k">for</span> <span class="n">物品</span> <span class="ow">in</span> <span class="n">物品</span><span class="p">:</span> </span></span></code></pre></div><h3 id="2-容量正序-还是-倒序">2. 容量正序 还是 倒序</h3> <p>决定是 01 背包 还是 完全背包</p> <ul> <li><strong>01 背包（物品只能用 1 次）：倒序遍历</strong></li> </ul> <p>每个物品只能用一次，所以不能让后面的更新用到前面刚更新的值 → 必须倒序</p> <ul> <li><strong>完全背包（物品可重复用）：正序遍历</strong></li> </ul> <p>物品可以用无限次，希望后面能用到前面刚更新的值 → 必须正序</p> <h3 id="3-初始化顺序求最小--求方案数--求可达">3. 初始化顺序：求最小 / 求方案数 / 求可达</h3> <p>决定 dp 数组怎么初始化</p> <ul> <li>① 求最小数</li> </ul> <p>dp[0] = 0，其余 = 无穷大</p> <ul> <li>② 求方案数</li> </ul> <p>dp[0] = 1，其余 = 0</p> <ul> <li>③ 求可达（True/False）</li> </ul> <p>dp[0] = True，其余 = False</p> <h3 id="01-背包">01 背包</h3> <ol> <li> <p>分割等和子集</p> </li> <li> <p>目标和</p> </li> </ol> <h3 id="完全背包">完全背包</h3> <ol> <li> <p>完全平方数</p> </li> <li> <p>零钱兑换</p> </li> <li> <p>单词拆分</p> </li> </ol> https://blog.kmoon.fun/%E7%AE%97%E6%B3%95%E5%90%88%E9%9B%86%E5%9B%9E%E6%BA%AF/ Sat, 09 Nov 2024 16:49:52 +0800hushan@kmoon.fun (Kmoon) https://blog.kmoon.fun/%E7%AE%97%E6%B3%95%E5%90%88%E9%9B%86%E5%9B%9E%E6%BA%AF/ <h2 id="组合型">组合型</h2> <h2 id="子集型">子集型</h2> <h2 id="排列型">排列型</h2> <h2 id="搜索型">搜索型</h2>